Question

13．如图，△ABC中，AC=AB，以AB为直径作半圆O，交AC于点E，交BC于点D．
（1）如图1，求证：CD=BD；
（2）如图2，连接CO交半圆O于点F，若AB=10，AE=8，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形三线合一，证明CD=BD；
（2）根据切割线定理列出关于CF的方程，解方程得到答案．

解答 （1）证明：连接AD，

∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴CD=BD；

（2）解：延长CD交⊙O于点F，

根据切割线定理，
CE•CA=CF•CH，
2×10=CF•（CF+10）
解得：CF=3$\sqrt{5}$-5，CF=-3$\sqrt{5}$-5（舍去）

点评 本题考查的是圆周角定理和切割线定理，解题的关键是正确作出辅助线，然后运用相应的定理进行解答，在解答时，要灵活运用所学的知识．