Question

如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE交AC于点E．
（1）若AB=AC，且DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB=AC，DE切⊙O于点D．求证：DE⊥AC．
（3）若DE切⊙O于点D，且DE⊥AC．求证：AB=AC．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连结OD，就有OD=OB，得出∠B=∠ODB，根据AB=AC就可以得出∠B=∠C，就可以得出∠ODB=∠C，得出OD∥AC，得出∠ODE=∠CED，由DE⊥AC就可以得出∠DEC=90°而得出结论．
（2）连结OD，DE切⊙O于点D就有OD⊥DE，得出∠ODE=90°，就有OD=OB，得出∠B=∠ODB，根据AB=AC就可以得出∠B=∠C，就可以得出∠ODB=∠C，得出OD∥AC，得出∠ODE=∠CED，得出∠DEC=90°而得出结论．
（3）连结OD，DE切⊙O于点D就有OD⊥DE，得出∠ODE=90°，由DE⊥AC就可以得出∠DEC=90°，得出∠ODE=∠CED，就有OD∥AC，∠ODB=∠C，OD=OB，得出∠B=∠ODB，就有∠B=∠C，进而得出AB=AC．

解答：证明：（1）连结OD，
∴OD=OB，
∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连结OD，
∴OD=OB，
∴∠B=∠ODB．
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED，
∴∠DEC=90°
∴DE⊥AC；
（3）连结OD，
∴OD=OB，
∴∠B=∠ODB．
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠CED，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．

点评：本题考查了切线的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质及切线的性质求解是关键．