【题目】如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BDP的周长最短?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)求出△ABC外接圆心M的坐标.
【答案】(1)y=x2+x+3;(2)存在,P坐标为(,);(3)圆心坐标:M(,).
【解析】
(1)根据OA、OC的长即可求出A、C两点的坐标,代入解析式即可;
(2)连接BD、AD,AD交对称轴于点P,连接BP,要使△BDP的周长最短,故只需使BP+DP最小即可,此时BP+DP=AP+DP=AD,根据两点之间线段最短,故P为所求的点,利用待定系数法和对称轴公式分别求出直线AD的解析式及抛物线的对称轴,即可求出P点坐标;
(3)根据三角形的外接圆圆心为三边中垂线的交点,故M在抛物线对称轴上,可设M的坐标为(,a),根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和MA=MB,列方程即可.
(1)∵OA=2,OC=3,
∴A(2,0),C(0,3),代入抛物线解析式
得:c=3,2 2b+3=0,
解得:b=,c=3,
则抛物线解析式为y=x2+x+3
(2)存在,连接BD、AD,交对称轴于点P,连接BP,要使△BDP的周长最短,故只需使BP+DP最小即可,此时BP+DP=AP+DP=AD,根据两点之间线段最短,故P为所求的点,
设直线AD解析式为y=mx+n(m≠0), 把A(2,0),D(2,2)代入得:
解得:m=,n=1,
∴直线AD解析式为y=x+1,
∵对称轴为直线,
当x=时,y=,则P坐标为(,).
(3)由题意可知:M在直线x=上, 且MA=MC,
设M(,a)
∴,
∴
解得:a=
圆心坐标M:(,)
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【题目】已知四边形ABCD内接于⊙O,∠DAB=90°.
(Ⅰ)如图1,连接BD,若⊙O的半径为6,弧AD=弧AB,求AB的长;
(Ⅱ)如图2,连接AC,若AD=5,AB=3,对角线AC平分∠DAB,求AC的长.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c中,4a﹣b=0,a﹣b+c>0,抛物线与x轴有两个不同的交点,且这两个交点之间的距离小于2.则下列结论:①abc<0,②c>0,③a+b+c>0,④4a>c,其中,正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过A、C、D三点的圆O交AB于点E,连接DE、CE,∠BCE=∠CDE.
(1)求证:直线BC为圆O的切线;
(2)猜想AD与CE的数量关系,并说明理由;
(3)若BC=2,∠BCE=30°,求阴影部分面积.
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【题目】某射击队教练为了了解队员训练情况,从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试,相同条件下各射靶5次,成绩统计如下:
命中环数 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲命中相应环数的次数 | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 |
乙命中相应环数的次数 | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 |
(1)根据上述信息可知:甲命中环数的中位数是_____环,乙命中环数的众数是______环;
(2)试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙射击成绩的方差会变小.(填“变大”、“变小”或“不变”)
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【题目】甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在A地时距地面的高度b为 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式;
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为70米?
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【题目】(本题8分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)直接写出点C和点D的坐标;
(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线与AB交于E,点F在DE的延长线上,∠BFE=90°,连接AF、CF,CF与AB交于G.有以下结论:
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FGFC
④EGAE=BGAB
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在阳光下,一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得落在教学楼第一级台阶上的影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.42米,则树高为_____米.
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