Question

CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线C、D上，请解答下面的三个问题：
（1）如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则∠BCE

=

∠CAF；BE

=

CF（填“＞”、“＜”、“=”）；并证明这两个结论．
（2）如图2，若∠BCA=80°，要使∠BCE与∠CAF有（1）中的结论，则∠α=

100

；
（3）如图2，若0°＜∠BCA＜180°，当∠α与∠BCA满足什么关系时，则（1）中的两个结论仍然成立．这个关系是

∠α+∠BCA=180°

．（只填结论，不用证明）

Answer 1

分析：（1）可以证明△BCE≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等即可得到；
（2）根据三角形内角和定理，可以得到∠CBE=∠ACF，则∠ACF+∠CAF=∠BCA，根据三角形内角和定理即可得到；
（3）与（2）的解法完全相同．

解答：解：（1）∵∠BEC=∠CFA=∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
又∵∠BCA=90°，即∠BCE+∠ACF=90°，
∵在△BCE和△CAF中，

∠BEC=∠CFA ∠BCE=∠ACF CA=CB

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴∠BCE=∠CAF；BE=CF；

（2）∵△BCE和△CAF中，∠BCE=∠CAF，∠BEC=∠CFA，
∴∠CBE=∠ACF，
∴∠ACF+∠CAF=∠ACF+∠BCE=∠BCA=80°
∴∠BEC=∠CFA=180°-（∠ACF+∠CAF）=100°；

（3）∠α+∠BCA=180°
证明：根据（2）得：∴∠ACF+∠CAF=∠BCA，
则在△ACD中，根据三角形内角和定理可得：∠α+∠BCA=180°．
故答案是：=，=．

点评：本题考查了三角形全等的判定与性质，以及三角形内角和定理，证明∠ACF+∠CAF=∠BCA是关键．