Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：△OBP与△OPA相似；
（2）当点P为AB中点时，求出P点坐标；
（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：
∵AB是过点P的切线，
∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；
∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，
又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△OPB中△APO中，
∴△OPB∽△APO．

（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴OP是∠AOB的平分线，
∴点P到x、y轴的距离相等；
又∵点P在第一象限，
∴设点P（x，x）（x＞0），
∵圆的半径为2，
∴OP=，解得x=或x=-（舍去），
∴P点坐标是（，）．

（3）存在；
①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；
∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∵OP=OQ，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，
∴∠BOQ=∠BOP=45°，
∴∠AOP=45°，
设P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），
∵OP=2代入得，解得x=，
∴Q点坐标是（-，）；
②如图示OPAQ为平行四边形，
同理可得Q点坐标是（，-）．
分析：（1）在Rt△OAB中，由切线的性质知：OP⊥AB，易证得△OAP∽△BPO．
（2）当P为AB中点时，由于OP⊥AB，那么OP平分∠AOB，即P点的横、纵坐标相等，已知OP的长，易求得点P的坐标．
（3）此题应分两种情况：
①OP为对角线，此时OQ∥AP，由于∠OPA=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此时OB为∠POQ的对角线，即P、Q关于y轴对称由此得解；
②OP为边，此时OP∥AQ，由于∠OPA=90°，那么平行四边形OPAQ为矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．
点评：此题主要考查的是切线的性质以及平行四边形的判定，还涉及到相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，难度较大．