Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，cosC=

5

13

，中线BE和AD交于点F．求：△ABC的面积以及sin∠EBC的值．

Answer 1

分析：由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由cosC=

5

13

，求得CD、AD，则S_△ABC=60，根据中线的性质求出DF，BF，在△BDF中求得sin∠EBC的值．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC，且AD是中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．（2分）
∵Rt△ABD与Rt△ACD中，AB=AC=13，cosC=cosB=

5

13

，
∴BD=DC=ABcosB=5（2分）
∴AD=

AB2-BD2

=

132-52

=12，
∴S_△ABC=60．（2分）
∵中线BE和AD交于点F，
∴DF=

1

3

AD=4（1分）
则在Rt△BDF中，BF=

DF2+BD2

=

52+42

=

41

（1分）
∴sin∠EBC=

DF

BF

=

4 41

41

（2分）

点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义，是中档题，难度不大．