【题目】如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E 、F ,连结BD 、DP ,BD与CF相交于点H. 给出下列结论:①△BDE ∽△DPE;② ;③DP 2=PH ·PB; ④. 其中正确的是( ).
A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
【答案】D
【解析】分析:根据等边三角形的性质和正方形的性质,得到∠PCD=30°,于是得到∠CPD=∠CDP=75°,证得∠EDP=∠PBD=15°,于是得到△BDE∽△DPE,故①正确由于∠FDP=∠PBD,∠DFP=∠BPC=60°,推出△DFP∽△BPH,得到,故②错误;由于∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC,推出△DPH∽△CPD,得到,PB=CD,等量代换得到PD2=PHPB,故③正确;过P作PM⊥CD,PN⊥BC,设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,于是得到∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,求得∠PCD=30°,根据三角函数的定义得到CM=PN=PBsin60°=4× ,PM=PCsin30°=2,由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM,等量代换得到∠DBE=∠DPM,于是求得tan∠DBE=tan∠DPM= ,故④正确;
解:∵△BPC是等边三角形,
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,
在正方形ABCD中,
∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°,
∴∠CPD=∠CDP=75°,
∴∠PDE=15°,
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°,
∴∠EBD=∠EDP,
∵∠DEP=∠DEB,
∴△BDE∽△DPE;
故①正确;
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=75°,
∴∠FDP=15°,
∵∠DBA=45°,
∴∠PBD=15°,
∴∠FDP=∠PBD,
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH,
∴
故②错误;
∵∠PDH=∠PCD=30°,
∵∠DPH=∠DPC,
∴△DPH∽△CDP,
∴ ,
∴PD2=PHCD,
∵PB=CD,
∴PD2=PHPB,
故③正确;
如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,
设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PBsin60°=4×,PM=PCsin30°=2,
∵DE∥PM,
∴∠EDP=∠DPM,
∴∠DBE=∠DPM,
∴tan∠DBE=tan∠DPM=,
故④正确;
故选D。
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【题目】如图,分别是可活动的菱形和平行四边形学具,已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.
(1)在一次数学活动中,某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合,摆拼成如图1所示的图形,AF经过点C,连接DE交AF于点M,观察发现:点M是DE的中点.
下面是两位学生有代表性的证明思路:
思路1:不需作辅助线,直接证三角形全等;
思路2:不证三角形全等,连接BD交AF于点H.…
请参考上面的思路,证明点M是DE的中点(只需用一种方法证明);
(2)如图2,在(1)的前提下,当∠ABE=135°时,延长AD、EF交于点N,求的值;
(3)在(2)的条件下,若=k(k为大于的常数),直接用含k的代数式表示的值.
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【题目】如图,已知四边形ABCD中,∠D=100°,AC平分∠BCD,且∠ACB=40°,∠BAC=70°.
(1)AD与BC平行吗?试写出推理过程;
(2)求∠DAC和∠EAD的度数.
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【题目】一副直角三角尺叠放如图 1 所示,现将 45°的三角尺ADE 固定不动,将含 30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动(旋转角不超过 180 度),使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图 2:当∠BAD=15°时,BC∥DE.则∠BAD(0°<∠BAD<180°)其它所有可能符合条件的度数为________.
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【题目】如图,将边长为的菱形ABCD纸片放置在平面直角坐标系中.已知∠ABO=45°.
(1)求出点B、C的坐标;
(2)设边AB沿y轴对折后的对应线段为AB′,求出点B′的坐标及线段CB′的长.
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【题目】巴蜀中学2017春季运动会的开幕式精彩纷呈,主要分为以下几个类型:A文艺范、B动漫潮、C学院派、D民族风,为了解未能参加运动会的初三学子对开幕式类型的喜好情况,学生处在初三年级随机抽取了一部分学生进行调查,并将他们喜欢的种类绘制成如下统计图,请你根据统计图解答以下问题:
(1)请补全折线统计图,并求出“动漫潮”所在扇形的圆心角度数.
(2)据统计,在被调查的学生中,喜欢“文艺范”类型的仅有2名住读生,其余均为走读生,初二年级欲从喜欢“文艺范”的这几名同学中随机抽取两名同学去观摩“文明礼仪大赛”视频,用列表法或树状图的方法求出所选的两名同学都是走读生的概率.
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【题目】已知抛物线,其中是常数,该抛物线的对称轴为直线.
()求该抛物线的函数解析式.
()把该抛物线沿轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与轴只有一个公共点.
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【题目】已知关于x的方程k2x2﹣2(k+1)x+1=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,设所给方程的两个根分别为x1和x2,求(x1﹣2)(x2﹣2)的值.
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