Question

如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
问：
（1）所截去小正方形的边长多少时，留下的图形（阴影部分）面积为64cm²？
（2）设所截去小正方形的边长为y厘米，则当y取何值时，利用留下的图形（即阴影部分）制成的无盖长方侧面积最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,二次函数的应用

专题：

分析：（1）等量关系为：矩形面积-四个全等的小正方形面积=64，列方程即可求解；
（2）无盖长方形的侧面积为2y（10-2y）+2y（8-y），再配方即可求解．．

解答：解：（1）设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8-4x²=64，
80-4x²=64，
4x²=16，
x²=4．
解得：x₁=2，x₂=-2，
经检验x₁=2符合题意，x₂=-2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
（2）无盖长方形的侧面积为2y（10-2y）+2y（8-y）=-6（y-3）²+54，
故当y取3cm时，利用留下的图形（即阴影部分）制成的无盖长方侧面积最大，最大值是54cm²．

点评：考查了一元二次方程的应用和二次函数中最值的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键，实际问题中需注意负值应舍去．