Question

14．如图，等边△ABC在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴正半轴、y轴的负半轴上，AB=10，将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D恰好落在x轴的正半轴上．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点Q从点D出发沿折线DC-CA-AB以每秒3个单位长的速度匀速运动；点P从点B沿BC以每秒1个单位长的速度匀速运动，射线PK随点P移动，保持与BC垂直，且交折线AB-AC于点E，交直线AD于点F．当点Q运动到点B时，停止运动，点P也随之停止．P、Q两点同时出发，设Q运动的时间为t（s），过点Q作QM⊥OD于M，设FM=y，求y与t的函数关系式，并要求写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在点P、Q的运动过程中，t为何值时，QE⊥AB？并判断此时点Q与以AE为直径的⊙O′的位置关系，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥于H，构造直角三角形，由勾股定理求得AH=5$\sqrt{3}$，OA=5，得到点A，B的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式．
（2）根据点Q的不同位置，利用三角函数求得相关的线段，得到自变量的取值范围和相关的解析式．
（3）只有点Q在线段CD上时，QE才能与A垂直，由QE⊥AB，得到EQ⊥CD，因为∠ACD=60°，所以∠QNC=30°，得到CG=2（10-3t）=20-6t，AG=10-（20-6t）=6t-10，由BF=t，得到BE=2t，于是AE=10-2T，列方程2（10-2t）=6t-10，求得t=3，根据点Q到AE中点的距离大于AE的一半，所以得到点Q在圆的外面．

解答 解：（1）如图1，过点A作AH⊥于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABH=60°，
∵AB=10
∴AH=5$\sqrt{3}$，OA=5，
∴A（5，0），B（0，-5$\sqrt{3}$），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{-5\sqrt{3}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-5\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-5$\sqrt{3}$；

（2）如图2，由题意得：OD=15，
四边形OBPF是矩形，
∴OF=BP=t，DQ=3t，
∴DM=$\frac{1}{2}$DQ=$\frac{3t}{2}$，
∴FM=15-$\frac{3t}{2}$-t=-$\frac{5t}{2}$+15，
如图3，设QM交BC于N，
∵CQ=3t-10，
∴CN=$\frac{3t-10}{2}$，
∴FM=15-5-t-（$\frac{3t}{2}$-5）=-$\frac{5t}{2}$+15，
∴y=-$\frac{5t}{2}$+15（0≤t≤6），
如图4，OF=BP=t，AM=$\frac{3t-20}{2}$，
∴OM=5-$\frac{3t-20}{2}$，
∴FM=t-（5-$\frac{3t-20}{2}$），
即：y=$\frac{5t}{2}$-15，（6＜t≤10）；

（3）如图5，设QE交AC于G，
∵QE⊥AB，
∴EQ⊥CD，
∵∠ACD=60°，
∴∠QNC=30°，
∴CG=2（10-3t）=20-6t，
∴AG=10-（20-6t）=6t-10，
∵BF=t，
∴BE=2t，
∴AE=10-2T，
∴2（10-2t）=6t-10，
∴t=3，
∴当t=3时，QE⊥AB；
∵t=3，
∴AE=4，QE=4$\sqrt{3}$＞4，
∴QO′＞4$\sqrt{3}$＞2，
∴点Q在⊙O外．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，动点问题，点与圆的位置关系，（2）中要考虑点Q的不同位置求解．