Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）当BD为何值时，以M为圆心，以MB为半径的圆与EF相切？
（4）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；
（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案；
（3）过M作EF的垂线MG，那么MG=BM，可在三角形BDM中用BD来表示出BM，因为BD=DM，所以可以用BD表示出FM，进而在直角三角形FMG中表示出MG，然后让这两个含x的式子相等即可求出x的值；
（4）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△CNE的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°，
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，
∴△BMD∽△CNE；

（2）解：如图1，过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MH为半径的圆，则与BC相切，
∴MH=MF，
设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DM=BD=x，
∴MH=MF=DF-MD=4-x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=$\frac{MH}{MD}$=$\frac{4-x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：x=16-8$\sqrt{3}$，
∴当BD=16-8$\sqrt{3}$时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；

（3）如图2，过点M作MG⊥EF垂足为G，则MG=BM，
在△BDM中，过点D作DP⊥BM垂足为P，
∵BD=x，∠B=30°，
∴BP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BM=$\sqrt{3}$．
∵BD=DM，FD=DE=4，
∴FM=4-x．
∵在RT△FMG中，∠F=60°，
∴MG=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$．
∴$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$．
解得x=$\frac{4}{3}$．
所以当BD的长为$\frac{4}{3}$时，以M为圆心，BM为半径的圆与直线EF相切．

（4）解：如图3，过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，
∴BK=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵∠B=30°，
∴AK=BK•tan∠B=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AK=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
由（2）得：MD=BD=x，
∴MH=MD•sin∠MDH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_△BDM=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S_△BDM：S_△CEN=（$\frac{BD}{CE}$）²=$\frac{{x}^{2}}{（4-x）^{2}}$，
∴S_△CEN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-x）²，
∴y=S_△ABC-S_△CEN-S_△BDM=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2$\sqrt{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$（$\frac{4}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$），
当x=2时，y有最大值，最大值为$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．