Question

8．如图，正方形ABCD中，AB=1，G为DC的中点，E为BC上任意一点，（点E与B，C不重合）过E作GA的平行线交AB于F．设BE=x，四边形AFEG面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 根据四边形的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积求解即可．

解答 解：如图所示：

∵EF∥AG，
∴∠2=∠3．
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠4．
∴tan∠4=tan∠1=$\frac{1}{2}$．
∴BF=$\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}x$．
∵四边形AFEG的面积=正方形ABCD的面积-三个直角三角形的面积，
∴四边形AFEG的面积=1×1-$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$-$-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x•x$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（1-x）$=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$，
∴y与x的函数关系式为y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$．
∵点E与B，C不重合，
∴x的范围为0＜x＜1．

点评 本题主要考查的是锐角三角函数的定义、三角形、正方形的面积公式，明确四边形AFEG的面积=正方形ABCD的面积-三个直角三角形的面积是解题的关键．