Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=

 

；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=

 

；
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…

1

2n(2n+2)

的值．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）观察原题等式，得出拆项方法，即可做出猜想；
（2）利用拆项法计算即可得到结果；
（3）利用得出的拆项法计算即可得到结果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

；原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

×（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2n

-

1

2n+2

）=

1

2

×（

1

2

-

1

2n+2

）

n

4n+4

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；

2011

2012

；

n

n+1

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．