Question

阅读下面材料：
在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？
小明发现：若∠ABC=60°，
①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；
②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）.
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．
（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为_________；
（2）如图4，若∠ABC的大小为，则六边形AEFCHG的周长可表示为________．

Answer 1

①6；②不变；（1）；（2）．

试题分析：①根据折叠方法得到六边形AEFCHG是边长为2的正六边形，从而提出结论.
②根据相似三角形的判定和性质可得结论.
（1）当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长不变，与重合点在菱形的对称中心O处时相同，从而解三角形可得结论.
（2）同（1）.
试题解析：①根据折叠方法得到六边形AEFCHG是边长为2的正六边形，从而提出结论.
②根据相似三角形的判定和性质可知当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长不变.
（1）由①②知，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长不变，与重合点在菱形的对称中心O处时相同，故作出图形如图，可得AE=AH=CF=CG=1，EF=HG=，所以六边形AEFCHG的周长为.

（2）同（1），可得AE=AH=CF=CG=1，EF=HG=，所以六边形AEFCHG的周长为.