Question

13．如图，抛物线y=x²-bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；
（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{\frac{b}{2}=2}\end{array}\right.$，
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x²-4x+3；
（2）∵点A与点C关于x=2对称，
∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y=x²-4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．

点评 本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．