Question

已知：如图，?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．
求证：（1）AB=BH；
（2）AB²=GA•HE．

Answer 1

证明：
（1）∵?ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE．
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC．
∴△BEH≌△DEC．
∴BH=DC．
∵DC=AB，
∴AB=BH．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE．
∴∠G=∠HBE．
∴△BEH∽△GBA．
∴BH•AB=EH•AG．
∵BH=DC=AB，
∴AB²=GA•HE．
分析：根据已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，从而得到BH=DC，由平行四边形的性质得DC=AB，则可以得到AB=BH；根据两组角对应相等的两个三角形相似得到△BEH∽△GBA，相似三角形的对应边成比例所以BH•AB=EH•AG，由于BH=DC=AB所以推出了AB²=GA•HE．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定，相似三角形的判定的综合运用．