Question

19．如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平方∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．

（1）以直线CE为对称轴，作△CEB的轴对称图形；
（2）求证：BE=$\frac{1}{2}$CD；
（3）点P是BC上异于BC的任一点，PQ∥CE，交BE于Q，交AB于W，如图（2）所示，试探究线段BQ与线段PW的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图，延长BE交CA延长线于F，即可作出△CEB的轴对称图形；
（2）根据全等三角形的性质得到FE=BE，根据余角的性质得到∠ACD=∠ABF，得到△ACD≌△ABF（ASA），根据全等三角形的性质得到CD=BF，即可得到结论；
（3）由PQ∥CE，得到△PBW∽△BCD，△BPQ∽△BCE，根据相似三角形的性质得到$\frac{PW}{CD}=\frac{PB}{BC}$，$\frac{BQ}{BE}=\frac{PB}{BC}$，由比例的性质得到$\frac{PW}{CD}=\frac{BQ}{BE}$，即$\frac{BQ}{PW}=\frac{BE}{CD}$，即可得到结论．

解答 解：（1）如图，延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCE=∠BCE}\\{CE=CE}\\{∠CEF=CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴△CFE与△CEB关于直线CE对称；

（2）∵△CEF≌△CEB，
∴FE=BE，
∵∠DAC=∠CEF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠ABF}\\{AC=AB}\\{∠CAD=∠BAF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD=BF，
∴BE=$\frac{1}{2}$CD；

（3）∵PQ∥CE，
∴△PBW∽△BCD，△BPQ∽△BCE，
∴$\frac{PW}{CD}=\frac{PB}{BC}$，$\frac{BQ}{BE}=\frac{PB}{BC}$，
∴$\frac{PW}{CD}=\frac{BQ}{BE}$，即$\frac{BQ}{PW}=\frac{BE}{CD}$，
由（2）证得BE=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{BQ}{PW}=\frac{1}{2}$，
即BQ=$\frac{1}{2}$PW．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作图-轴对称变换，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．