Question

在△ABC中，A（-n，n），n满足关于x的方程x²-8x+4n=0有两个相等的实根，A、C关于原点对称，C、B关于x轴对称．
（1）点D为线段AB上一动点，DB的垂直平分线交AC于E，过点E作直线L垂直DE，在直线L上是否存在定点F满足FE=DE？若存在，求出F的坐标；若不存在，说明理由．
（2）设AB交y轴于G，作CH∥AB交y轴于H，P为直线BC上一点，直线PG交直线AC于Q，连接QH，求证：∠QHG=∠GHP．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据x²-8x+4n=0有两个相等的实根，求出n=4，从而得出A、F的坐标，作EM⊥DB于M，EN⊥AF与N，得出∠ENF=∠EMB=90°，根据AC为∠BAF的平分线，得出EM=EN，再根据∠FEN=∠DEM，证出△FEN≌△DEM，从而得出FE=DE；
（2）根据G（0，4），H（0，4），设P点坐标（4，m），得出直线PH表达式和直线PG、直线OC的表达式，再求出PH与x轴交点R坐标，Q点的坐标，从而求出直线QH表达式，再求出QH与x轴交点T坐标，得出OT=OR，最后证出△OTH≌△ORH，即可得出∠QHG=∠GHP．

解答：解：（1）∵x²-8x+4n=0有两个相等的实根，
∴△=（-8）²-4×4n=0，
∴n=4，
∴A（-4，4），F（-4，-4），
作EM⊥DB于M，EN⊥AF与N，
∴∠ENF=∠EMB=90°，
∵ABCF为正方形，AC为对角线，
∴AC为∠BAF的平分线，
∴EM=EN，
∵∠FEN=90°-∠DEN，∠DEM=90°-∠DEN，
∴∠FEN=∠DEM，
在△FEN和△DEM中，

∠FEN=∠DEM ∠ENF=∠EMD EN=EM

，
∴△FEN≌△DEM（AAS），
∴FE=DE；

（2）∵G（0，4），H（0，4），
设P点坐标（4，m），
∴直线PH表达式y=

m+4

4

x-4，
∴直线PG表达式y=

m-4

4

x+4，直线OC表达式y=-x，
∴PH与x轴交点R坐标（

16

m+4

，0），Q点的坐标（

-16

m

，

16

m

），
∴直线QH表达式y=

-m-4

4

x-4，
∴QH与x轴交点T坐标（

16

m+4

，0），
∴OT=OR，
在△OTH和△ORH中，

OT=OR ∠HOT=∠HOR OH=OH

，
∴△OTH≌△ORH（SAS），
∴∠QHG=∠GHP．

点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，关键是根据函数的解析式求出线段相等，证出三角形全等．