Question

如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于　_________　．

Answer 1

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试题分析：延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G，四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形，求得等腰梯形AFDE的面积和△BCF的面积，二者的差就是所求五边形的面积．
试题解析：延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G．

∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，
∴四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形．设BF=x，
∵在直角△BCF中，∠BCF=90°-∠F=30°
∴FC=2x，
∴FD=2x+1．
∵平行四边形AGDE中，DG=AE=2，
∴FG=2x-1，
∵△AFG是等边三角形中，AF=FG，
∴x+1=2x-1，
解得：x=2．
在直角△BCF中，BC=BF•tanF=2，
则S_△BCF=BF•BC=×2×2=2．
作AH⊥DF于点H．则AH=AF•sinF=3×=，
则S_梯形AFDE=（AE+DF）•AH=×（2+5）•=．
∴S_{五边形ABCDE}=S_梯形AFDE-S_△BCF=-．
考点: 1.等腰梯形的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理.