Question

如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知AD=BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB=CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,勾股定理,正方形的判定与性质

专题：

分析：（1）欲证明AB=CD，只需证得

AB

=

CD

；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．

解答：（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴

AD

=

BC

，
∴

AD

-

BD

=

BC

-

BD

，即

AB

=

CD

∴AB=CD；

（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF=FD，BG=CG．
∵AD=BC，
∴AF=CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，

AF=CG OA=OC

，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF．
设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x²+（x+1）²=5²，
解得 x=3．
则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．

点评：本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．