Question

20．如图，在等边三角形ABC的AC、CB边的延长线上各取一点P、Q，使得AP=CQ，直线AQ，BP相交于点O，则∠BOQ=120°．

Answer 1

分析 由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABQ与三角形BCP全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠AQB=∠BPC，利用外角性质及等量代换即可得证．

解答 证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ABQ=∠BCP=120°，
∵AP=CQ，
∴AP-BC=CQ-BC．
即BQ=CP，
在△ABQ和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABQ=∠BCP}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△BCP（SAS），
∴∠AQB=∠BPC，
则∠AOB=∠OQB+∠OBQ=∠CPB+∠CBP=∠ACB=60°，
∴∠BOQ=180°-∠AOB=180°-60°=120°．
故答案为：120°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．