Question

9．已知，在正方形ABCD中，AB=2，点E是CD边上的一个动点，点F在CB的延长线上，∠EAF=90°．
（1）求证：DE=BF；
（2）若AE=GE，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等得出∠FAB=∠EAD，利用ASA判定Rt△ABF≌Rt△ADE，全等三角形的对应边相等从而得到DE=BF；
（2）根据等腰三角形的性质结合相似三角形的判定与性质得出DE的长．

解答 （1）证明：∵∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD，
∴∠FAB=∠EAD，
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴DE=BF；

（2）解：过点E作EH⊥AB于点H，
∵AE=GE，
∴AH=HG，
由题意可得：AH=HG=DE=BF，
∵HE∥FB，
∴△HEG∽BFG，
∴$\frac{HE}{FB}$=$\frac{HG}{BG}$，
设DE=x，则$\frac{2}{x}$=$\frac{x}{2-2x}$，
解得：x=2$\sqrt{2}$-2（负数舍去），
即DE的长为2$\sqrt{2}$-2．

点评 此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法和相似三角形的判定与性质等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出△HEG∽BFG是解题关键．