Question

19．某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售，设购入A玩具为x（件），B玩具为y（件）．
（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨共购进A、B型玩具各多少件？
（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
（3）为了增加玩具种类，张阿姨决定在1200元的基础上再增加投入，同时购进玩具A、B、C，己知玩具C批发价为每件25元，所购三种玩具全部售出，经核算，三种玩具的总利润相同，且A、C两种玩具的销量之和是玩具B销量的4.5倍，求玩具C每件的售价m元（直接写出m的值）．

Answer 1

分析 （1）根据总价=单价×数量列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设利润为W元，找出利润W关于x的函数关系式，由购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量找出关于x的一元一次不等式，解不等式得出x的取值范围，由W关于x的函数单调性即可解决最值问题；
（3）设三种玩具分别购进a、b、c件，结合已知列出关于a、b、c的一元一次方程组，设而不求，由比例关系可得出m的值．

解答 解：（1）由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{30x+50y=1200}\\{（35-30）x+（60-50）y=220}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=12}\end{array}\right.$．
（2）设利润为W元，
W=（35-30）x+（60-50）y=5x+10×$\frac{120-3x}{5}$=-x+240．
∵购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，
∴x≥$\frac{120-3x}{5}$，解得：x≥15．
由W关于x的函数单调递减可知，
当x=15时，W取最大值，最大值为225，此时y=（1200-30×15）÷50=15．
故购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
（3）设三种玩具分别购进a、b、c件，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{5a=10b=（m-25）c}\\{a+c=4.5b}\end{array}\right.$，
解得：m=29．
答：玩具C每件的售价为29元．

点评 本题考查了一次函数的性质、解二元一次方程组即解一元一次不等式，解题的关键：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）解一元一次不等式得出x的取值范围；（3）设三种玩具分别购进a、b、c件，列出方程，舍而不求．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）有点难度，此题中设了3个未知数，单在解方程组时并未求取a、b、c的值，而是根据比例关系直接求出了m，我们在日常做题中常常会用到舍而不求这种方法．