Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）（x+3），即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）解：存在．

当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3），

抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

连接BC交直线x=﹣1于Q，如图，

∵点A与点B关于直线x=﹣1对称，

∴QA=QB，

∴QA+QC=QB+QC=BC，

∴此时QA+QC的值最小，

∴此时△QAC的周长最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（﹣3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=x+3，

当x=﹣1时，y=x+3=2，

∴满足条件的Q点的坐标为（﹣1，2）；

；（3）（1）中抛物线在第二象限的图象是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

解：存在．

过PD∥y轴交BC于P，如图，

设P（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），则D（x，x+3），

∴PD=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x，

∴S△PBC=S△PBD+S△PCD= 3PD=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+ ）2+ ，

当x=﹣ 时，S△PBC值最大，最大值为 ，

此时P点坐标为（﹣ ， ）．

【解析】（1）利用交点式可直接得到抛物线的解析式；（2）先确定C（0，3），抛物线的对称轴为直线x=﹣1，连接BC交直线x=﹣1于Q，如图，利用两点之间线段最短解决最短路径问题得到此时QA+QC的值最小，从而确定此时△QAC的周长最小，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+3，然后计算自变量为﹣1时的一次函数值即可得到满足条件的Q点的坐标；（3）过PD∥y轴交BC于P，如图，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），则D（x，x+3），则PD可表示为﹣x2﹣3x，利用三角形面积公式得到S△PBC=﹣ x2﹣ x，然后利用二次函数的性质求解．