练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    18．如图，在平面直角坐标系中，P，Q分别是x轴，y轴的正半轴上两动点，OP=2，OQ=k，分别过P，Q作坐标轴的垂线，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$于点A，B两垂线交于点M，点E为线段OP上一动点．
    （1）当点A在线段QM上时，求AM，BM的长（结果均用含k的代数式表示）；
    （2）点E在整个运动过程中，若存在△ABE是等腰直角三角形，请求出所有满足条件的k的值．

    分析 （1）当点A在线段QM上时，则点A的纵坐标为k，代入反比例函数解析式得点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，代入反比例函数的解析式得点B的纵坐标为$\frac{k}{2}$，由题意得点M的坐标为（2，k），则AM=2-1=1，BM=k-$\frac{k}{2}$=$\frac{k}{2}$；
    （2）利用分类讨论的思想，若∠ABE为直角，则BA⊥BE，BA=BE；若∠EAB为直角，则AB⊥AE，AB=AE；若∠EAB为直角，则AB⊥AE，AB=AE，利用两点之间距离公式和两直线垂直的时，斜率的关系利用代数思想可解得结果．

    解答 解：（1）∵OP=2，OQ=k，
    ∴点Q坐标为（0，k），点P的坐标为（2，0），
    ∵点A在线段QM上，
    ∴点A的纵坐标为k，
    代入反比例函数解析式得：k=$\frac{k}{x}$，解得：x=1，
    ∵点B在直线MP上，
    ∴点B的横坐标为2，
    代入反比例函数的解析式得：y=$\frac{k}{2}$，
    由题意得点M的坐标为（2，k），
    ∴AM=2-1=1，
    BM=k-$\frac{k}{2}$=$\frac{k}{2}$；

    （2）设E（x0，0）（0≤x0≤2），
    若∠ABE为直角，则BA⊥BE，BA=BE，
    ∵BA=BE，
    ∴1+${（k-\frac{k}{2}）}^{2}$=${{（x}_{0}-2）}^{2}$+${（\frac{k}{2}）}^{2}$，
    解得：x0=1或x0=3（舍去），
    ∴x0=1，
    ∴E（1，0），
    ∵BA2+BE2=AE2，BA=BE，
    ∴2BA2=AE2，
    ∴2（$\frac{{k}^{2}}{4}$+1）=k2，解得：k=2或k=-2（舍去）；
    若∠AEB为直角，则EA⊥EB，EA=EB，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{（1{-x}_{0}）（2{-x}_{0}）{+（\frac{k}{2}）}^{2}=0}\\{{（1{-x}_{0}）}^{2}{+k}^{2}{=（2{-x}_{0}）}^{2}{+（\frac{k}{4}）}^{2}}\end{array}\right.$，
    解得：x0=3（舍去）或${x}_{0}=\frac{4}{3}$，k=$\frac{2}{3}$，
    当${x}_{0}=\frac{4}{3}$时，k=$\frac{2}{3}$；
    若∠EAB为直角，则AB⊥AE，AB=AE，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-1+\frac{{k}^{2}}{2}=0}\\{1+\frac{{k}^{2}}{4}{={（x}_{0}-1）}^{2}{+k}^{2}}\end{array}\right.$，
    解得：${x}_{0}=\frac{1}{2}$或x0=3（舍去），
    当${x}_{0}=\frac{1}{2}$时，k=1，
    ∴当k=2，k=$\frac{2}{3}$或k=1时，△ABE是等腰直角三角形．

    点评 本题主要考查了反比例函数的图象和性质、坐标与函数图象的关系等，分类讨论，结合等腰直角三角形的性质，利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解答此题题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中所有正确结论的序号是①④．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．已知：∠MON=80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
    （1）如图1，若AB∥ON，则：
    ①∠ABO的度数是40°；
    ②如图2，当∠BAD=∠ABD时，试求x的值（要说明理由）；
    （2）如图3，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．（自己画图）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    6．已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC的长是方程x2-12x+35=0的根，则△ABC的周长等于（　　）
    A．12B．14C．12或14D．以上都不是

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图，在?ABCD中，O为对角线AC的中点，EF经过点O并与AB，CD分别相交于点E，F．
    （1）求证：AE=CF；
    （2）当EF⊥AC时，连接AF，CE，试判断四边形AFCE是怎样的四边形？并证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．已知直线y=k1x+b与双曲线$y=\frac{k_2}{x}$相交于点A（2，4），且与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线和双曲线的解析式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．
    （1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
    （2）当-2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4.2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A=30°，D为$\widehat{BC}$的中点．
    （1）求证：AB=BC．
    （2）试判断四边形BOCD的形状，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．甲、乙两桶油共重68千克，若从甲桶取出它的$\frac{1}{4}$，从乙桶取出它的$\frac{1}{3}$后，两桶油剩下的一样重，求原来甲、乙各多少千克？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案