【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为______,点A的坐标为______,点B的坐标为______.
(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点M的坐标.
【答案】(1)y=-x+;(-2,2);(1,0);(2)N点坐标为(0,2-3)或(,)
【解析】
(1)由“梦想直线”的定义可求得其解析式,联立直线与抛物线的解析式可求得A,B的坐标;
(2)根据“梦想三角形”的定义,分当点N在y轴上时和当M点在y轴上时两种情况讨论即可.
解(1)由“梦想直线”的定义得,抛物线的“梦想直线”的解析式为y=-x+,
联立梦想直线与抛物线解析式可得,解得或,
∴A(-2,2),B(1,0),
故答案为:y=-x+;(-2,2);(1,0);
(2)当点N在y轴上时,△AMN为梦想三角形,
如图1,过A作AD⊥y轴于点D,则AD=2,
在y=-x2-x+2中,令y=0可求得x=-3或x=1,
∴C(-3,0),且A(-2,2),
∴AC==,
由翻折的性质可知AN=AC=,
在Rt△AND中,由勾股定理可得DN==3,
∵OD=2,
∴ON=2-3或ON=2+3,
当ON=2+3时,则MN>OD>CM,与MN=CM矛盾,不合题意,
∴N点坐标为(0,2-3);
当M点在y轴上时,则M与O重合,过N作NP⊥x轴于点P,如图2,
在Rt△AMD中,AD=2,OD=2,
∴tan∠DAM==,
∴∠DAM=60°,
∵AD∥x轴,
∴∠AMC=∠DAO=60°,
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°,
∴∠NMP=60°,且MN=CM=3,
∴MP=MN=,NP=MN=,
∴此时N点坐标为(,);
综上可知N点坐标为(0,2-3)或(,);
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【题目】为增强环保意识,某社区计划开展一次“减碳环保,减少用车时间”的宣传活动,对部分家庭五月份的平均每天用车时间进行了一次抽样调查,并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查了多少个家庭?
(2)将图①中的条形图补充完整,直接写出用车时间的中位数落在哪个时间段内;
(3)求用车时间在1~1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数;
(4)若该社区有车家庭有1600个,请你估计该社区用车时间不超过1.5小时的约有多少个家庭?
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【题目】在正方形ABCD中,E对角线AC上一点,连接DE.
(1)如图1,若E为对角线AC中点,过点C、D分别作AC、DE的垂线相交于点F,连接AF,若AF=10,求正方形ABCD的面积;
(2)如图2,把△ADE绕点D顺时针旋转90°得到△CDF,连接AF,取AF的中点为M,连接DM,求证:4DM2+AE2=2DF2.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,O为AB的中点. 将OA绕点O逆时针旋转θ °至OP(0<θ<180),当△BCP恰为轴对称图形时,θ的值为_____________.
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【题目】某服装店出售某品牌的棉衣,进价为100元/件,当售价为150元/件时,平均每天可卖30件;为了尽快减少库存迎接“元旦”的到来,商店决定降价销售,增加利润,经调查每件降价5元,则每天可多卖10件,现要想平均每天获利2000元,且让顾客得到实惠,那么每件棉衣应降价多少元?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点O在△ABC的内部,⊙O经过B,C两点,交AB于点D,连接CO并延长交AB于点G,以GD,GC为邻边作GDEC.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若点B是的中点,⊙O的半径为2,求的长.
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【题目】甲、乙两人要某风景区游玩,每天某一时段开往该景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不清楚这三辆车的舒适程度,也不知道汽车开来的顺序,两人采用了不同的乘车方案:
甲无论如何总是上开来的第一辆车,而乙则是先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车辆的舒适状况,如果第二辆车状况比第一辆好,他就上第二辆车,如果第二辆不比第一辆好,他就上第三辆车.这三辆车的舒适程度为上、中、下三等,请解决下面的问题:
(1)请用画树形图或列表的方法分析这三辆车出现的先后顺序,写出所有可能的结果;(用上中下表示)
(2)分析甲、乙两人采用的方案,谁的方案使自己坐上上等车的可能性大,说明理由.
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【题目】如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为( )
A. B. 2 C. D. 3
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