Question

4．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁，
第二次操作，分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂，
第三次操作，分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃，…，

第n次操作，分别作∠ABE_n-1和∠DCE_n-1的平分线，交点为E_n．
（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE₂C=$\frac{1}{4}$∠BEC；
（3）猜想：若∠E_n=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E₁，运用（1）中的结论，得出∠CE₁B=∠ABE₁+∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BEC；同理可得∠BE₂C=∠ABE₂+∠DCE₂=$\frac{1}{2}$∠ABE₁+$\frac{1}{2}$∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠CE₁B=$\frac{1}{4}$∠BEC；
（3）根据∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃，得出∠BE₃C=$\frac{1}{8}$∠BEC；…据此得到规律∠E_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠BEC，最后求得∠BEC的度数．

解答 解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E₁，
∴由（1）可得，
∠CE₁B=∠ABE₁+∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BEC；
∵∠ABE₁和∠DCE₁的平分线交点为E₂，
∴由（1）可得，
∠BE₂C=∠ABE₂+∠DCE₂=$\frac{1}{2}$∠ABE₁+$\frac{1}{2}$∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠CE₁B=$\frac{1}{4}$∠BEC；

（3）如图2，∵∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃，
∴∠BE₃C=∠ABE₃+∠DCE₃=$\frac{1}{2}$∠ABE₂+$\frac{1}{2}$∠DCE₂=$\frac{1}{2}$∠CE₂B=$\frac{1}{8}$∠BEC；
…
以此类推，∠E_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠BEC，
∴当∠E_n=α度时，∠BEC等于2ⁿα度．

点评 本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．