Question

如图，抛物线y=x²-4x-1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；
（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x²-4x-1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；
（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-4x-1=x²-4x+4-5=（x-2）²-5，
∴点D的坐标为（2，-5）；

（2）∵当y=4时，x²-4x-1=4，
解得x=-1或x=5，
∴M坐标为（-1，4），点N坐标为（5，4），
∴MN=6．P的半径为3，点P的坐标为（2，4），
连接PE，则PE⊥DE，
∵PD=9，PE=3，
根据勾股定理得DE=6；

（3）能够相切．
理由：设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），
代入抛物线解析式得：（2+r）²-4（2+r）-1=r，
解得r=或r=（舍去）．
分析：（1）利用配方法即可将函数解析式变形为：y=（x-2）²-5，由顶点式即可求得这条抛物线的顶点D的坐标；
（2）由经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x²-4x-1相交于M、N两点（M在N的左侧），即可求得M与N的坐标，即可求得P的坐标，然后即可求得PE与PD的长，根据切线的性质，由勾股定理即可求得DE的长；
（3）根据已知，可得点P的横坐标为2，又由以MN为直径的⊙P与x轴相切，可得抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），将点的坐标代入解析式即可求得r的值，则可证得以MN为直径的⊙P能与x轴相切．
点评：此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，还考查了圆的切线的性质等知识，是二次函数的综合题型．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．