Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，且FG=3，线段DG、EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，△FGO的面积与四边形ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是6．

Answer 1

分析 连接DE，过A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE∥BC，并且可知△ADE的高等于$\frac{1}{2}$AH，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH，那么△ADE的面积就可求．而所求S_△FOG+S_{四边形ADOE}=S_△ADE+S_△DOE+S_△FOG，又因为△DOE和△FOG的底相等，高之和等于AH的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S_△FOG+S_{四边形ADOE}的面积．

解答 解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，

∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH=$\sqrt{A{H}^{2}-B{H}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=4，
∴${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}BC•\frac{AH}{2}=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{2}=3$，
设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b=$\frac{AH}{2}$=2，
∴S_△DOE+S_△FOG=$\frac{1}{2}DE•a+\frac{1}{2}FG•b=\frac{1}{2}×3×（a+b）=\frac{1}{2}×3×2$=3，
∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是
S_△ADE+S_△DOE+S_△FOG=3+3=6．
故答案为：6．

点评 本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．