Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BF于点F，B为切点．求证：（1）BD平分∠CBF；（2）AB•BF=AF•CD．

Answer 1

证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
又∵∠2=∠4，
∴∠3=∠4，即BD平分∠CBF；

（2）在△DBF和△BAF中，
∵∠3=∠1，∠F=∠F，
∴△DBF∽△BAF，
∴即AB•BF=AF•BD
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，
∴AB•BF=AF•CD．
分析：（1）由于AF是∠BAC的角平分线，那么∠1=∠2，利用弦切角定理可得∠1=∠3，利用同弧所对的圆周角相等，可得∠2=∠4，那么，可证∠3=∠4，即BD平分∠CBF；
（2）由于∠3=∠1，∠F=∠F，那么可证△DBF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BF，又由于∠1=∠2，同圆里相等的圆周角所对的弧相等，而同圆里相等的弧所对的弦相等，从而BD=CD，等量代换，可得AB：AF=CD：BF，即AB•BF=AF•CD．
点评：本题利用了角平分线性质、弦切角定理、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定和性质等知识．