Question

【题目】如图，AC，BD相交于点O，AC平分∠DCB，CD⊥AD，∠ACD＝45°，∠BAC＝60°.

（1）证明：AD∥BC；

（2）求∠EAD的度数；

（3）求证：∠AOB＝∠DAC +∠CBD

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）75°；（3）见解析.

【解析】（1）由AC平分∠DCB，∠ACD＝45°，可得∠BCD=90°,从而可证AD∥BC；

（2）由AD∥BC可求∠ACB＝∠ACD＝45°，然后由三角形内角和可求出∠ABC的度数,再根据两直线平行，同位角相等可求出∠EAD的度数；；

（3）过点O作OF∥AD，则OF∥BC，根据平行线的性质可得∠AOF＝∠DAC，∠FOB＝∠CBD，然后等量代换可得结论.

⑴ 证明：∵AC平分∠DCB，

∴∠BCD＝2∠ACD＝2×45°＝90°.

∵CD⊥AD，

∴∠ADC＝90°，

∴∠BCD+∠ADC＝90°+90°＝180°，

∴AD∥BC；

⑵ ∵AC平分∠DCB，

∴∠ACB＝∠ACD＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝45°，

∴∠EAD＝180°－∠DAC－∠BAC

＝180°－45°－60°

＝75°；

⑶ 过点O作OF∥AD，

∵AD∥BC，

∴OF∥BC，

∴∠AOF＝∠DAC，∠FOB＝∠CBD，

∴∠AOB＝∠AOF+∠FOB＝∠DAC+∠CBD.