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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+ca0的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A1,0,C0,3两点,抛物线与x轴的另一交点为B.

1若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;

2设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使BPC为直角三角形的点P的坐标.

【答案】1y=x+3 y=﹣x2﹣2x+3;2﹣1,﹣2﹣1,4﹣1, ﹣1,

【解析】

试题分析:1首先由题意根据抛物线的对称性求得点B的坐标,然后利用交点式,求得抛物线的解析式;再利用待定系数法求得直线的解析式;

2首先利用勾股定理求得BC,PB,PC的长,然后分别从点B为直角顶点、点C为直角顶点、点P为直角顶点去分析求解即可求得答案.

试题解析:1抛物线y=ax2+bx+ca0的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A1,0,抛物线与x轴的另一交点为B,

B的坐标为:﹣3,0

设抛物线的解析式为:y=ax﹣1)(x+3

把C0,3代入,﹣3a=3,

解得:a=﹣1,

抛物线的解析式为:y=﹣x﹣1)(x+3=﹣x2﹣2x+3;

把B﹣3,0,C0,3代入y=mx+n得:

解得:

直线y=mx+n的解析式为:y=x+3;

2设P﹣1,t

B﹣3,0,C0,3

BC2=18,PB2=﹣1+32+t2=4+t2,PC2=﹣12+t﹣32=t2﹣6t+10,

①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2

即:18+4+t2=t2﹣6t+10,解之得:t=﹣2;

②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2

即:18+t2﹣6t+10=4+t2,解之得:t=4,

③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2

即:4+t2+t2﹣6t+10=18,

解之得:t1=,t2=

综上所述P的坐标为﹣1,﹣2﹣1,4﹣1, ﹣1,

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