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【题目】ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点DBC的中点,把一个三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、ACE、F .

(1)如图1,观察旋转过程,猜想线段AFBE的数量关系并证明你的结论;

(2)如图2,若连接EF试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系,直接写出你的结论(不需证明);

(3)如图3,若将AB=AC,点DBC的中点改为:B=30°,ADBC于点D”,其余条件不变,探索(1)中结论是否成立?若不成立,请探索关于AF、BE的比值.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)(1)中结论不成立.

【解析】试题分析:(1)连接AD,利用等腰三角形中的三线合一,即可证得AD=BD=DC=BC∠ADB=∠ADC=90°,又由同角的余角相等,证得∠5=∠4,则可得△BDE≌△ADF,则AF=BE

2)由(1)可得AF=BEAE=CF,又由勾股定理,即可得到

3)可证得有两角对应相等,所以可得△BDE∽△ADF,利用三角函数即可求得比值.

1)如图,连接AD

∵AB=AC∠BAC=90°,点DBC的中点

∴AD=BD=DC=BC∠ADB=∠ADC=90°

∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°

∴∠3+∠5==90°

∵∠3+∠4==90°

∴∠5=∠4

∵BD=AD

∴△BDE≌△ADF.

∴BE=AF

2)根据(1)可得BE=AF

所以AB-BE=AC-AF,即AE=FC

∵∠BAC=90°

3)(1)中的结论BE=AF不成立.

∵∠B=30°AD⊥BC于点D∠BAC=90°,

∴∠3+∠5==90°∠B+∠1==90°.

∵∠3+∠4==90°∠1+∠2==90°

∴∠B="∠2" ∠5=∠4.

∴△BDE∽△ADF.

.

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