【题目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,把一个三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .
(1)如图1,观察旋转过程,猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论;
(2)如图2,若连接EF,试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系,直接写出你的结论(不需证明);
(3)如图3,若将“AB=AC,点D是BC的中点”改为:“∠B=30°,AD⊥BC于点D”,其余条件不变,探索(1)中结论是否成立?若不成立,请探索关于AF、BE的比值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)(1)中结论不成立.
【解析】试题分析:(1)连接AD,利用等腰三角形中的三线合一,即可证得AD=BD=DC=BC,∠ADB=∠ADC=90°,又由同角的余角相等,证得∠5=∠4,则可得△BDE≌△ADF,则AF=BE;
(2)由(1)可得AF=BE,AE=CF,又由勾股定理,即可得到;
(3)可证得有两角对应相等,所以可得△BDE∽△ADF,利用三角函数即可求得比值.
(1)如图,连接AD,
∵AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC的中点
∴AD=BD=DC=BC,∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°
∴∠3+∠5==90°
∵∠3+∠4==90°
∴∠5=∠4
∵BD=AD
∴△BDE≌△ADF.
∴BE=AF;
(2)根据(1)可得BE=AF,
所以AB-BE=AC-AF,即AE=FC,
∵∠BAC=90°,
∴,
∴
(3)(1)中的结论BE=AF不成立.
∵∠B=30°,AD⊥BC于点D,∠BAC=90°,
∴∠3+∠5==90°, ∠B+∠1==90°.
∵∠3+∠4==90°,∠1+∠2==90°
∴∠B="∠2" , ∠5=∠4.
∴△BDE∽△ADF.
∴.
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【题目】若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图像经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当
2≤x≤3时,y2的最小值.
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【题目】下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2
B.(x﹣y)2=x2﹣2xy﹣y2
C.x(x﹣1)=x2﹣1
D.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
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【题目】据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为( )千米.
A.5.5×106
B.5.5×107
C.55×106
D.0.55×108
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【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知点B坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,直接写出△ABC外接圆的圆心坐标.
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【题目】将一图形绕点O顺时针旋转70°后,再绕点O逆时针旋转120°,这时如果要使图形回到原来的位置,需要将图形绕点O按顺时针方向旋转________度.
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【题目】若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<5
B.k>5
C.k≤5,且k≠1
D.k<5,且k≠1
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【题目】随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆,设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x,根据题意列方程得( )
A.10(1+x)2=16.9
B.10(1+2x)=16.9
C.10(1﹣x)2=16.9
D.10(1﹣2x)=16.9
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