Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，4），直线l与x轴相交于点B，与∠AOB的平分线相交于点C，直线l的解析式为y=kx﹣5k（k≠0），BC=OB．

（1）若点C在此抛物线上，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，过点A作y轴的平行线，与直线l相交于点D，设P为抛物线上的一个动点，连接PA、PD，当时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）（﹣1，0）或（﹣5，）

【解析】

试题分析：（1）如图，先求出B点坐标，则可得到OA=OB=5，再证明AO∥CB，加上OB=BC=5，则可判断四边形AOBC为平行四边形，所以AC∥OB，AC=OB=5，于是得到C（2，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）如图，先确定直线l的解析式为y=﹣x+，再确定D点坐标，则可求出AD的长，设P（t，t2+t），利用三角形面积公式和得到|t+3|=54，然后解绝对值方程求出t的值，从而可确定点P的坐标．

试题解析：（1）如图，A（﹣3，4），

∴OA==5，

当y=0时，kx﹣5k=0，解得x=5，则B（5，0），

∵BC=BO=5，

∴∠BOC=∠BCO，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠AOC=∠BCO，

∴AO∥CB，

而OA=BC=5，

∴四边形AOBC为平行四边形，

∴AC∥OB，AC=OB=5，

∴C（2，4），

把A（﹣3，4），C（2，4）代入y=ax2+bx得，

解得a=，b=，

∴抛物线的解析式为y=x2+x；

（2）如图，把C（2，4）代入y=kx﹣5k得2k﹣5k=4，解得k=﹣，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

当x=﹣2时，y=﹣x+=，则D（﹣3，），

∴AD=﹣4=，

设P（t，t2+t），

∵，

∴|t+3|=54，解得t=﹣1或t=﹣5，

∴点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，）．