【题目】(1)问题
如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:ADBC=APBP.
(2)探究
如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)结论ADBC=APBP仍成立;理由见解析;(3)t的值为2秒或10秒.
【解析】
(1)根据同角的余角相等,即可证出∠APD=∠BPC,然后根据相似三角形的判定即可证出:△ADP∽△BPC,再根据相似三角形的性质,列出比例式,最后根据比例的基本性质即可证出结论;
(2)根据三角形外角的性质和已知条件证出:∠BPC=∠APD,然后根据相似三角形的判定即可证出:△ADP∽△BPC,再根据相似三角形的性质,列出比例式,最后根据比例的基本性质即可证出结论;
(3)过点D作DE⊥AB于点E,根据三线合一和勾股定理求出DE,然后画圆根据切线的性质可得:DC=DE=8,再根据(1)(2)的经验得ADBC=APBP,列出方程,求出t的值即可.
(1)证明:∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,
∴∠APD=∠BPC,
∴△ADP∽△BPC,
∴
∴ADBC=APBP;
(2)结论ADBC=APBP仍成立;理由:
证明:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠APD,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD,
∵∠DPC=∠A=θ,
∴∠BPC=∠APD,
又∵∠A=∠B=θ,
∴△ADP∽△BPC,
∴,
∴ADBC=APBP;
(3)解:如下图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵AD=BD=10,AB=12,
∴AE=BE=6
根据勾股定理可得:DE==8,
∵以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,
∴DC=DE=8,
∴BC=10-8=2,
∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
又∵∠DPC=∠A,
∴∠DPC=∠A=∠B,由(1)(2)的经验得ADBC=APBP,
又∵AP=t,BP=12-t,
∴t(12-t)=10×2,
∴t=2或t=10,
∴t的值为2秒或10秒.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线M:y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),且顶点坐标为B(0,1).
(1)求抛物线M的函数表达式;
(2)设F(t,0)为x轴正半轴上一点,将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1.
①抛物线M1的顶点B1的坐标为 ;
②当抛物线M1与线段AB有公共点时,结合函数的图象,求t的取值范围.
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【题目】(2017湖北省十堰市,第24题,10分)已知O为直线MN上一点,OP⊥MN,在等腰Rt△ABO中,∠BAO=90°,AC∥OP交OM于C,D为OB的中点,DE⊥DC交MN于E.
(1)如图1,若点B在OP上,则:
①AC OE(填“<”,“=”或“>”);
②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是 ;
(2)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(0°<α<45°),如图2,那么(1)中的结论②是否成立?请说明理由;
(3)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(45°<α<90°),请你在图3中画出图形,并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式 .
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【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.
(1)请直接写出D点的坐标.
(2)求二次函数的解析式.
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
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【题目】在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动,活动规则是:只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同学,每人才能获得一次抽奖机会.在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中选一个数字,选中后就可以得到该数字后面的相应奖品:前面的人选中的数字,后面的人就不能再选择数字了.
(1)请用树状图(或列表)的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率.
(2)有的同学认为,如果甲先翻奖牌,那么他得到篮球的概率会大些,这种说法正确吗?请说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:DE∥AC.
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【题目】阅读下面内容,并按要求解决问题: 问题:“在平面内,已知分别有个点,个点,个点,5 个点,…,n 个点,其中任意三 个点都不在同一条直线上.经过每两点画一条直线,它们可以分别画多少条直线? ” 探究:为了解决这个问题,希望小组的同学们设计了如下表格进行探究:(为了方便研 究问题,图中每条线段表示过线段两端点的一条直线)
请解答下列问题:
(1)请帮助希望小组归纳,并直接写出结论:当平面内有个点时,直线条数为 ;
(2)若某同学按照本题中的方法,共画了条直线,求该平面内有多少个已知点.
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【题目】如图,菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上,O是坐标原点,tan∠AOC=,反比例函数y=的图象经过点C,与AB交于点D,若△COD的面积为20,则k的值等于_____.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PF⊥BC于点F,试问△PDF的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由.
(3)当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形?如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由.
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