Question

11．如图，将矩形ABCD折叠，使点C与A点重合，折痕为EF．
（1）判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
（2）若AB=4，BC=8，求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，根据矩形与折叠的性质，即可证得△AEO≌△CFO，继而证得AE=CE=CF=AF，继而可证得：四边形AFCE是菱形；
（2）连接AC交EF于点O，由勾股定理先求出AC的长度，根据折叠的性质可判断出RT△EOC∽RT△ABC，从而利用相似三角形的对应边成比例可求出OE，再由EF=2OE可得出EF的长度．

解答 解：四边形AFCE是菱形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质可得：OA=OC，AE=CE，AF=CF，
在△OAE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：连接AC交EF于点O，
由勾股定理知AC=4$\sqrt{5}$，
又∵折叠矩形使C与A重合时有EF⊥AC，
则RT△EOC∽RT△ABC，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$，
故EF=2OE=2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了翻折变换、勾股定理，菱形的判定，矩形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．