Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：AE=CD；

（2）若AC=12cm，求BD的长．

Answer 1

 （1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，

且BC=CA，

在△DBC和△ECA中，

∵

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE=CD．

 

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，

在Rt△CDB和Rt△AEC中

，

∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），

∴BD=CE，

∵AE是BC边上的中线，

∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．

∴BD=6cm．