Question

【题目】如图，抛物线C1：y＝－x2＋2x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.

(1)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；

(2)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，求抛物线C2的表达式(用k表示)；

(3)在(2)条件下，点P在抛物线C2上，满足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.当k＞1时，求k的值．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋2x；(2) y＝－x2＋2x；(3) k=

【解析】(1)由抛物线C1解析式求出A、B及原点坐标,将三点坐标都扩大到原来的2倍,利用待定系数法求解可得;
(2)与(1)同理,利用待定系数法可得抛物线C2的解析式;
(3)求出顶点C的坐标,根据 S△PAC＝S△ABC知BP∥AC,继而可得△ABO是边长为2的正三角形,四边形CEBP是矩形,表示出点P的坐标,将其代入到抛物线C2解析式可求得k的值.

解：(1)∵y＝－x2＋2x＝－ (x－1)2＋，

∴抛物线C1经过原点O，点A(1，)和点B(2，0)三点，

∵将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，

∴变换后的抛物线经过原点O，(2，2)和(4，0)三点．

设变换后抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，将(2，2)和(4，0)代入，

得，解得.

∴变换后抛物线的表达式为y＝－x2＋2x；

(2)∵抛物线C1经过原点O，点A(1，)和点B(2，0)三点，

将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的抛物线记作C2，则抛物线C2过原点O，(k，k)，(2k，0)三点，

∴抛物线C2的表达式为y＝－x2＋2x；

(3)∵y＝－x2＋2x＝－ (x－k)2＋k，

∴O，A，C三点共线，且顶点C为(k， k)．

如答图，∵S△PAC＝S△ABC，k＞1，∴BP∥AC，

过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E.

由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，

∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1，∵∠PBD＝60°，

∴BD＝k－，PD＝ (2k－1)，

∴P，

∴ (2k－1)＝－，解得k＝.