Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根据特殊角的锐角三角函数值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，从而可证得△ABO是等边三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小题即可作出判断．

根据已知条件不能推出AF=FH，故①错误；

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵AD=，AB=1，

∴tan∠ADB=，

∴∠ADB=30°，

∴∠ABO=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，

∴AO=BO，

∴△ABO是等边三角形，

∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF，

∵AB=BO，

∴BF=BO，故②正确；

∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，

∴∠CAH=15°，

∵CE⊥BD，

∴∠CEO=90°，

∵∠EOC=60°，

∴∠ECO=30°，

∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，

∴AC=CH，故③正确；

∵△AOB是等边三角形，

∴AO=OB=AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∴DC=OC=OD，

∵CE⊥BD，

∴DE=EO=DO=BD，

∴BE=3ED，故④正确；

∴正确的有3个，

故选C．