Question

14．已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证：
（1）四边形EFPQ是平行四边形；
（2）BG=2GE，CG=2GF．

Answer 1

分析 （1）证明EF是△ABC的中位线，PQ是△BCG的中位线，由三角形中位线定理即可得出EF∥PQ，EF=PQ，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出对角线互相平分GE=GP，GF=GQ，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∵P，Q分别是BG，CG的中点，
∴PQ是△BCG的中位线，BG=2GP，CG=2GQ，
∴PQ∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥PQ且EF=PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形．
（2）由（1）得：四边形EFPQ是平行四边形，
∴GE=GP，GF=GQ，
∵BG=2GP，CG=2GQ，
∴BG=2GE，CG=2GF．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．