Question

10．若D为等腰直角三角形ABC的BC边上任一点，且DE⊥AD，BE⊥AB．
（1）求证：△ADE是等腰直角三角形；
（2）如图，当D在CB上任意运动时，若BC=a，过B作BM⊥BC交AE于M，现给二个结论：①∠BMD的度数不变：②BD+BM+DM值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论，并求其值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在线段CA取一点F，使得CF=CD．只要证明△ADF≌△DEB．即可推出AD=DE；
（2）②正确．如图2中，作AG⊥BM交BM的延长线于G，在BG 的延长线上截取GH=CD．首先证明四边形ACBG是正方形，再证明△MAH≌△MAD，推出DM=KM，由HM=GM+HG=GM+CD，推出DM=CD+GM．推出BD+BM+DM=BD+BM+CD+MG=BC+BG=2BC=2a即可；

解答 （1）证明：如图1中，在线段CA取一点F，使得CF=CD．

∵∠C=90°，CF=CD，AC=CB，
∴AF=DB，∠CFD=∠CDF=45°，
∴∠AFD=135°，
∵BE⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠ABE=90°，
∴∠DBE=135°，
∴∠AFD=∠DBE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∵∠FAD+∠ADC=90°，∠ADC+∠BDE=90°，
∴∠FAD=∠BDE，
在△ADF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠BDE}\\{AF=DB}\\{∠AFD=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DEB．
∴AD=DE，
∵∠ADE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形．

（2）解：②正确．
理由：如图2中，作AG⊥BM交BM的延长线于G，在BG 的延长线上截取GH=CD．

∵∠C=∠CBG=∠AGB=90°，
∴四边形ACBG是矩形，
∵AC=CB，
∴四边形ACBG是正方形，
∴AC=AG，∠ACD=∠AGH=90°，
∴△ACD≌△AGH，
∴AD=AH，∠GAH=∠CAD，
∵∠DAE=45°，
∴∠MAH=∠MAG+∠GAH=∠MAG+∠CAD=45°，
∴∠MAD=∠MAH，∵MA=MA，
∴△MAH≌△MAD，
∴DM=KM，
∵HM=GM+HG=GM+CD，
∴DM=CD+GM．
∴BD+BM+DM=BD+BM+CD+MG=BC+BG=2BC=2a．
∴BD+BM+DM的值是定值．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．