Question

19．在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠ABC=$\frac{3}{5}$，D是AB上一点，以AD为直径的半圆O与BC相交于点E（靠近点B的交点），射线DE交AC的延长线于F．
（1）如图1，当半圆O与BC相切于点E时，
①求证：AD=AF；
②若BD=4，求AC的长．
（2）如图2，当$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{3}$，则S_△CEF：S_{四边形ADEC}：S_△BDE=21：27：1．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，连接OE．只要证明OE∥AF，推出∠PED=∠F，由OE=OD，推出∠OED=∠ODE，推出∠F=∠ADF，即可推出AF=AD；
②在Rt△OBE中，sin∠B=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{3}{5}$，设OE=3k，OB=5k，则BE=4k，由OE²+BE²=OB²，推出（3k）²+（4k）²=（3k+4）²，解得k=2或-$\frac{1}{2}$（舍弃），推出OE=OA=OD=6，OB=10，由OE∥AC，推出$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BA}$，由此即可解决问题；
（2）如图2中，作DM⊥BC于M，连接AE．在Rt△ABC中，sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$．设AC=3a，AB=5a，则BC=4a，由EC=3EB，推出EC=3a，EB=a，设DM=x，推出AC=CE=3k，推出∠CAE=∠CEA=45°，易证EM=DM=x，BM=a-x由DM∥AC，推出$\frac{DM}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，可得$\frac{x}{3a}$=$\frac{a-x}{4a}$，推出x=$\frac{3}{7}$a，求出△CEF，四边形ADEC，△DEB的面积（用a表示）即可解决问题：

解答 （1）①证明：如图1中，连接OE．

∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴OE∥AF，
∴∠PED=∠F，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠F=∠ADF，
∴AF=AD．

②解：在Rt△OBE中，sin∠B=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{3}{5}$，设OE=3k，OB=5k，则BE=4k，
∵OE²+BE²=OB²，
∴（3k）²+（4k）²=（3k+4）²，
解得k=2或-$\frac{1}{2}$（舍弃），
∴OE=OA=OD=6，OB=10，
∵OE∥AC，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BA}$，
∴$\frac{6}{AC}$=$\frac{10}{16}$，
∴AC=$\frac{48}{5}$．

（2）解：如图2中，作DM⊥BC于M，连接AE．

在Rt△ABC中，sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$．设AC=3a，AB=5a，则BC=4a，
∵EC=3EB，
∴EC=3a，EB=a，设DM=x，
∴AC=CE=3k，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∵AD是直径，
∴∠AED=∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠DEM=45°，
∴EM=DM=x，BM=a-x
∵DM∥AC，
∴$\frac{DM}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，
∴$\frac{x}{3a}$=$\frac{a-x}{4a}$，
∴x=$\frac{3}{7}$a，
∴AC=CE=CF=3a，AE=3$\sqrt{2}$a，DE=$\frac{3}{7}$$\sqrt{2}$a，
∴S_△EDF=$\frac{1}{2}$×3a×3a=$\frac{9}{2}$a²，
S_{四边形ADEC}=S_△ACE+S_△AED=$\frac{9}{2}$a²+$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{2}$a•$\frac{3\sqrt{2}}{7}$a=$\frac{81}{14}$a²，
S_△BDE=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{3}{7}$a=$\frac{3}{14}$a²，
∴S_△CEF：S_{四边形ADEC}：S_△BDE=$\frac{9}{2}$a²：$\frac{81}{14}$a²：$\frac{3}{14}$a²=21：27：1．
故答案为21：27：1．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．