Question

11．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点C（3，0），交x轴负半轴于点B（-1，0），∠ACB=45°．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点D为线段AC上一点，且AD=2CD，过点D作DE∥y轴，交抛物线一点E，点P为x轴上方抛物线的一点，设点P的横坐标为t，△PDE的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并直接写出t的范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF∥DE交直线AC于点F，是否存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用点B，C坐标，利用待定系数法求出函数解析即可；
（2）由AD=2CD，DE∥y轴，得出D，E两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出S与t之间的函数关系式，根据B，C两点坐标直接写出t的取值范围；
（3）假设抛物线上存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形，求出直线AC的解析式，设出点P坐标，从而得出点F坐标，整理出关于h的方程，求出P点坐标，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形．

解答 解：（1）把B（-1，0），C（3，0），代入函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
故抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）设DE与x轴交于点H，
∵DE∥y轴，AD=2CD，
∴$\frac{DH}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DH=CH=1，
∴D（2，1），
∵点E在抛物线上，
∴E（2，3），
∵点P为x轴上方抛物线上的一点，设点P的横坐标为t，
∴-1＜t＜3，
∵△PDE的面积为S，
∴$\frac{1}{2}$DE•|t-2|=S，
∴S=|t-2|（-1＜t＜3），
即当-1＜t＜2时，S=2-t，
当2＜t＜3时，S=t-2；

（3）如图所示：设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
假设抛物线上存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形，
设点P坐标为（h，-h²+2h+3），
∵PF∥DE，
∴PF=DE，
∴F（h，-h+3），
∴-h²+2h+3-（-h+3）=2，
∴h²-3h+2=0，
∴h₁=1，h₂=2，
∴抛物线上存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（1，4）或（2，3）．

点评 本题主要考查了二次函数解析式的确定以及平行四边形的判定和性质等知识，要注意当情况不确定的情况下需要分类讨论，以免漏解．