Question

如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为__________．

Answer 1

．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．

【专题】计算题；几何图形问题．

【分析】在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．

【解答】解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，

∵RT△BCE中，CF⊥BE，

∴∠EBC=∠ECF，

∵∠OBC=∠OCD=45°，

∴∠OBG=∠OCF，

在△OBG与△OCF中

∴△OBG≌△OCF（SAS）

∴OG=OF，∠BOG=∠COF，

∴OG⊥OF，

在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，

∴EC=2，

∴BE===2，

∵BC²=BF•BE，

则6²=BF，解得：BF=，

∴EF=BE﹣BF=，

∵CF²=BF•EF，

∴CF=，

∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=，

在等腰直角△OGF中

OF²=GF²，

∴OF=．

故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用．