Question

9．顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（　　）

• A． 相等、平分且垂直
• B． 相等且平分
• C． 相等且垂直
• D． 垂直且平分

Answer 1

分析 根据四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，同理可得IG∥BD，IG=$\frac{1}{2}$BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．

解答 解：如右图所示，四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，
∵四边形EFGI是正方形，
∴∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，
又∵G、F是AD、CD中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有IG∥BD，IG=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
即AC=BD，
∵GF∥AC，∠IGF=90°，
∴∠IHO=90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．
故选：C．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线，掌握正方形的性质定理、三角形中位线定理．