Question

1．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD=6$\sqrt{2}$，BE=8，求EF的长；
（2）求证：CE=$\sqrt{2}$EF；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=6$\sqrt{2}$，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=6，BE=8，可知BD=10，又F是线段BD的中点，所以EF=$\frac{1}{2}$BD=5；
（2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=$\sqrt{2}$EF；
（3）思路同（2）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．

解答 解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=6$\sqrt{2}$，
∴AE=DE=6，
在Rt△BDE中，
∵DE=6，BE=8，
∴BD=10，
又∵F是线段BD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=5；

（2）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=$\sqrt{2}$FE；
∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF=EF=FB=FD，
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，
∴∠DFE=2∠ABD，
同理∠CFD=2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，
即∠CFE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$EF；

（3）（2）中的结论仍然成立．
如图2，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EDF和△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{DF=BF}\\{∠EFD=∠GFB}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GBF（ASA），
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=$\sqrt{2}$FE；
∴CE=$\sqrt{2}$EF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．