Question

11．如图，已知cos∠ABM=$\frac{4}{5}$，AB=20，C是射线BM上一点．
（1）求点A到BM的距离；
（2）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是②③（填写所有符合条件的序号），
①AC=13；②tan∠ACB=$\frac{12}{5}$； ③连接AC，△ABC的面积为126．

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥BC于H，利用余弦定义可计算出BH=16，在利用勾股定理可计算出AH=12，
（2）由于以A为圆心，13为半径作圆与BM有两个交点，即此时C点有两个，BC的长不确定；若tan∠ACB=$\frac{12}{5}$，在Rt△ACH中利用正切的定义可求出CH=5，所以BC=BH+CH=21；若当△ABC的面积为126时，则可利用三角形面积公式求出BC的长，于是得到符合条件的序号．

解答 解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵cos∠ABM=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{4}{5}$×20=16，
∴AH=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
即点A到BM的距离为12；
（2）当AC=13时，以A为圆心，13为半径作圆与BM有两个交点，所以此时C点有两个；
当tan∠ACB=$\frac{12}{5}$，在Rt△ACH中，tan∠ACH=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{12}{5}$，则CH=5，所以BC=BH+CH=16+5=21；
当△ABC的面积为126时，则$\frac{1}{2}$•12•BC=216，所以BC=36．
故答案为②③．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．