Question

6．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE．
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=60°，由于AD=AE，于是得到∠ADE=60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=75°-45°=30°；
（2）设∠BAD=x，于是得到∠CAD=90°-x，根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+$\frac{1}{2}x$，于是得到结论；
（3）设∠BAD=x，∠C=y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=180°-2y，由∠BAD=x，于是得到∠DAE=y+$\frac{1}{2}$x，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED=∠C=30°；

（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°-x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+$\frac{1}{2}x$，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$x；

（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°-2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+$\frac{1}{2}$x，
∴$∠CDE=∠AED-∠C=\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．