Question

4．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴$DC=\frac{1}{2}BC=2$，$FC=\frac{1}{2}AC=2$．
∵∠EDC=30°，
∴$EC=\frac{1}{2}DC=1$．
∴FE=FC-EC=1．

点评 本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．