Question

14．观察如图，A点为正比例函数y=$\frac{3}{4}$x与一次函数y=-x+7的图象的交点
（1）求点A的坐标；
（2）设x轴上一点P（a，b），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）分别交y=$\frac{3}{4}$x和y=-x+7的图象于点B，C，连接OC，若BC=$\frac{14}{5}$OA，求△OBC的面枳．

Answer 1

分析 （1）联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标；
（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中根据勾股定理求出OA的长，故可得出BC的长，根据P（a，0）可用a表示出B、C的坐标，故可得出a的值，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{y=-x+7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$．
则A（4，3）；

（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得，
OA=$\sqrt{O{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∴BC=$\frac{14}{5}$OA=$\frac{14}{5}$×5=14．
∵P（a，0），
∴B（a，$\frac{3}{4}$a），C（a，-a+7），
∴BC=$\frac{3}{4}$a-（-a+7）=$\frac{7}{4}$a-7，
∴$\frac{7}{4}$a-7=14，解得a=12，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OP=$\frac{1}{2}$×14×12=84．

点评 本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答此题的关键．