Question

【题目】如图，在ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE．

（1）求证：∠D=∠F；

（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．

【解析】

（1）BE交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F；

（2）分别作BC和BF的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OC为半径作△BCF的外接圆⊙O，⊙O交AD于P，连结BP、CP，则根据圆周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判断△BPC∽△CDP．

解：（1）BE交AD于G．如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FBC=∠FGE．

而∠FBC=∠DCE，∴∠FGE=∠DCE．

∵∠GEF=∠DEC，∴∠D=∠F；

（2）如图，点P为所作．